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2계 미분방정식 예제

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PDEs는 소리, 열, 정전기, 전기 역학, 유체 흐름, 탄성 또는 양자 역학과 같은 자연의 다양한 현상을 설명하는 데 사용할 수 있습니다. 이러한 겉보기에 뚜렷한 물리적 현상은 PBE측면에서 유사하게 공식화될 수 있습니다. 일반 미분 방정식이 1차원 동적 시스템을 모델링하는 경우가 많듯이 부분 미분 방정식은 종종 다차원 시스템을 모델링합니다. PES는 경위 부분 미분 방정식에서 일반화를 찾습니다. 첫 번째 차수의 분리 가능한 선형 일반 미분 방정식은 균일해야 하며 일반적인 형태선형 미분 방정식은 알 수 없는 함수와 그 미분에서 선형인 미분 방정식입니다. 그들의 이론은 잘 개발되고, 많은 경우에, 하나는 적분의 관점에서 자신의 솔루션을 표현 할 수있다. 이제 앞에서 설명한 것처럼 (n^{text{}}})을 시스템으로 작성할 수 있습니다. 어떻게 할 수 있는지 살펴보겠습니다. 이제 이 문제를 해결하려고 할 때 이 섹션에서 제공한 형태로 시스템을 해결하지 못하는 것을 볼 수 있습니다.

미분 방정식의 시스템은 매트릭스 형태로 변환 할 수 있으며, 이것은 우리가 일반적으로 해결 시스템에 사용하는 형태입니다. 이 것의 요점은 미분 방정식의 시스템이 자연적으로 발생하는 상황에서 아주 쉽게 발생할 수 있음을 알 수 있다는 것입니다. 미분 방정식의 효과적인 포식자 먹이 시스템을 개발하는 것은이 장의 주제가 아닙니다. 그러나 시스템은 (n^{text{th}}})에서 발생할 수 있습니다. 그러나 이 에 들어가기 전에 시스템을 기록하고 몇 가지 용어를 꺼내 보겠습니다. 일반 미분 방정식(ODE)은 하나의 실제 또는 복합 변수 x, 그 미분 및 일부 주어진 x 함수의 알 수 없는 함수를 포함하는 방정식입니다. 알 수 없는 함수는 일반적으로 변수(종종 y로 표시됨)로 표시되므로 x에 따라 다릅니다. 따라서 x는 종종 방정식의 독립 변수라고합니다. 용어 “보통”은 하나 이상의 독립 변수에 대하여 일 수 있는 용어 부분 미분 방정식과 대조적으로 사용된다. 미분 방정식은 물리학, 공학 및 기타 과학분야에서 많은 문제에서 발생합니다. 다음 예제에서는 정확한 해가 존재하는 몇 가지 간단한 경우에서 미분 방정식을 해결하는 방법을 보여 준다.

예제의 첫 번째 그룹에서 u는 x의 알 수 없는 함수이며 c 및 ω은 알려진 상수입니다. 일반 및 부분 미분 방정식의 두 가지 광범위한 분류는 선형 방정식과 비선형 미분 방정식을 구별하고 동종 미분 방정식과 이기종 방정식 을 구분하는 것으로 구성됩니다. 이 모든 것을 합친 것은 다음과 같은 미분 방정식 시스템을 제공합니다. 선형 미분 방정식은 비선형 방정식에 대한 근사치로 자주 나타납니다. 이러한 근사치는 제한된 조건에서만 유효합니다. 예를 들어, 고조파 발진기 방정식은 작은 진폭 진동에 유효한 비선형 진자 방정식에 대한 근사치입니다(아래 참조). 미분 방정식을 해결할 때 동일한 개념입니다 – 먼저 일반적인 솔루션을 찾은 다음 주어진 숫자를 대체하여 특정 솔루션을 찾습니다. 분리할 수 없는 첫 번째 차분 방정식이 있다고 가정하면 해당 해식을 사분면으로 직접 줄일 수 없습니다.

이러한 방정식을 해결하는 작업에 적분 작업을 수행하기 위해 이전에 숫자 기술을 적용할 수 있습니까? 1차 선형 비균질성 ODI(일반 미분 방정식)는 분리할 수 없습니다. 통합 팩터 메서드라고 하는 다음 접근 방식으로 해결할 수 있습니다. 일반적인 형식의 1차 선형 ODI를 고려하십시오: 예를 들어, 고전 역학에서 바디의 모션은 시간 값이 변화함에 따라 위치 및 속도에 의해 설명됩니다. 뉴턴의 법칙은 이러한 변수를 동적으로 표현할 수 있도록 허용합니다(위치, 속도, 가속도 및 신체에 작용하는 다양한 힘) 시간의 함수로서 신체의 알 수 없는 위치에 대한 미분 방정식으로.